На счет Венеции не знаю, но Генуя в событиях 13-14 вв. точно роль сыграла. В Куликовской генуэзцы битве участвовали во время Кьоджийской войны 1376-1381 гг. с Венецией. Значит выгода была не маленькая. Иначе зачем средства разбрасывать, помогая татарам Мамая, хотя война с Венецией и так была тяжелая?  Дж. Арриги в "Долгом двадцатом веке" пишет:" Ни политические бедствия, ни относительное изобилие средств платежа, ни, разумеется, техническая виртуозность генуэзского капитализма в XV веке не были результатом одних лишь местных обстоятельств. Напротив, генуэзские достижения сформировались непосредственно под влиянием широкого итальянского, европейского и евразийского системного контекста, который возник практически без какого-либо участия Генуи. Самым важным из этих системных обстоятельств несомненно являлся распад евразийской торговой системы, в рамках которой были сколочены генуэзские торговые состояния в конце XIII—начале XIV веков. Источником этих состояний в первую очередь служила конкурентоспособность центральноазиатского торгового пути в Китай и удача генуэзских предпринимателей, сумевших установить квазимонопольный контроль над черноморским «терминалом» этого пути. Пока Монгольская империя обеспечивала доступ к центральноазиатскому торговому пути и его безопасность, а Генуя сохраняла военное превосходство в черноморском регионе, генуэзская торговля процветала, а генуэзские предприятия увеличивали размах операций и росли численно. Но, как только упадок Монгольской империи привел к снижению конкурентоспособности и безопасности центральноазиатского торгового пути, а с ростом османского могущества в Малой Азии было подорвано, а затем и уничтожено генуэзское господство на Черном море, колесо фортуны повернулось. Век процветания генуэзской торговли ушел в прошлое, а раздутый генуэзский военно-коммерческий аппарат неожиданно столкнулся с необходимостью коренной перестройки (ср.: Heers 1961: 366–372; Abu-Lughod 1989: 128–129).
На сокращение прибыльных торговых возможностей на центральноазиатском маршруте Генуя ответила попыткой установить еще более жесткий контроль за другими видами торговли в черноморском регионе — за торговлей зерном, лесом, пушниной и рабами. Как отмечает Эрс (Heers 1961: 367), Кьоджийская война с Венецией (1376–1381), по сути, велась в попытке установить коммерческую монополию на Черном море. Но как мы знаем, эта попытка провалилась: Генуя проиграла войну, и согласно Туринскому миру Венеция окончательно забрала в свои руки азиатскую торговлю по южному маршруту. С того момента могущество Генуи на Черном море и в восточном Средиземноморье быстро пришло в упадок вследствие стремительных турецких завоеваний, в то время как перенаправить экспансию на более близкие области не позволяли Арагон и Каталония, державшие под контролем северо-западное Средиземноморье". А началось все с того, что в начале 1260-х гг. международная политическая обстановка резко изменилась в результате ряда взаимосвязанных событий: во-первых, к 1261 г. была восстановлена Византийская империя. Во-вторых, произошло окончательное обособление улусов Монгольской империи, и в 1261 – 1262 гг. Золотая орда и новорожденная держава иль-хана Хулагу вступили между собой в борьбу, чреватую реальными выгодами для европейского Запада.
Особенно большое значение имел константинопольский переворот 1261 г. Михаил Палеолог в начале 1261 г. при активной поддержке местного населения овладел Константинополем. Союзниками Михаила Палеолога были генуэзцы, которые не чаяли, как вытеснить из Константинополя своих конкурентов-венецианцев. Хотя никакой сколько-нибудь действенной помощи генуэзцы Палеологу не оказали, они, используя крайне бедственное положение разоренной и нищей новой византийской державы, навязали ей кабальный договор. Заключен он был в городе Нимфее в марте 1261 г.
Генуэзцы получили право беспошлинной торговли на суше и на море, им предоставлены были особые кварталы в Смирне (Измире), Салониках и Константинополе и особые отводы на Хиосе и Лесбосе. Проливы в Черное море объявлялись закрытыми для любых невизантийских судов, исключая лишь генуэзские и пизанские; в своих колониях генуэзцы должны были пользоваться неограниченными правами и подчиняться только генуэзским консулам. Пера, предместье византийской столицы, расположенное на северном берегу бухты Золотой Рог, стала главной опорной базой Генуи на Ближнем Востоке.
Генуэзцы сразу же после переворота 1261 г. устремились на север. В 1266 г. их агенты проникли в Крым, которым владела Золотая орда, и по договору с местным вождем приобрели земельный отвод на Восточном берегу. Вскоре здесь возникла важнейшая заморская колония генуэзцев — Кафа (современная Феодосия). В 1274 г. генуэзцы обосновались в Солдае (Судаке), оттеснив венецианцев, осевших в этой гавани в 1257 г. В первые десятилетия XIV века генуэзский флаг уже развевался над несколькими десятками черноморских колоний и над главной гаванью Азовского моря Таной (Азовом). На восточном берегу Черного моря и в Приазовье в XIV – XV вв. насчитывалось 39 генуэзских колоний; самая южная была в Севастополисе (Сухуми). По крайней мере, четыре десятка колоний было в конце XIV века в Крыму, в том числе такие значительные поселения, как Чембало (Балаклава), Горзавиум (Гурзуф), Луста (Алушта). У Судака образовался сгусток из 18 мелких колоний. В 1290 г. генуэзцы устроились на берегах Днестровского лимана в Мауро-Кастро (Белгороде Днестровском), и примерно в это же время появилась их колония в низовьях Днепра (Илече, современные Олешки). Генуэзцы смогли обосноваться на исходных участках торгового пути, шедшего из Кафы в Поволжье, Хорезм, Семиречье, Монголию и Китай. Переворот 1261 г. открыл генуэзцам и другой транзитный путь. Он связывал Смирну и Константинополь через Анатолию и Великую Армению со столицей иль-ханов Тебризом. Но затем все изменилось, Арриги пишет, что  "мы не знаем точно, когда изменилась конъюнктура. Но нам известно, что общий объем товарного транзита, по оценкам мытарей-откупщиков, в порту Генуи сократился с 4 миллионов генуэзских фунтов в 1293 году до 2 млн фунтов в 1334 году и что во второй половине века этот объем редко превышал последнюю цифру (Martines 1988: 170). Учитывая тогдашнее значение Генуи как торгового центра, так и центра накопления капитала — в 1293 году ее морская торговля втрое превышала все доходы королевства Франция (Lopez 1976: 94),— мы можем смело предположить, что где-то в начале XIV века, но определенно ранее 1334 года евразийская торговая экспансия заглохла и это радикальное и долговременное изменение конъюнктуры отразилось на бизнесе итальянских городов-государств (ср.: Abu-Lughod 1989)".